题目

已知x2+（a+3）x+a+1=0是关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求实数a的值． 答案：【考点】根与系数的关系；根的判别式． 【分析】（1）先计算判别式，再进行配方得到△=（a+1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根； （2）根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣（a+3），x1x2=a+1，再利用完全平方公式由x12+x22=10得（x1+x2）2﹣2x1x2=10，则（a+3）2﹣2（a+1）=10，然后解关于a的方程即可． 【解答】（1）证明：△=（a+3）2﹣4（a+1） =a2+6a+9﹣4a﹣4 =a2+2a+5 =（a+1）2+4， ∵（a+1）2≥0， ∴（a+1）2+4＞0，即△＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：根据题意得x1+x2=﹣（a+3），x1x2=a+1， ∵x12+x22=10， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2=10， ∴（a+3）2﹣2（a+1）=10， 整理得a2+4a﹣3=0，解得a1=﹣2+，a2=﹣2﹣， 即a的值为﹣2+或﹣2﹣．

查看本题答案和解析