题目

已知点P是椭圆+=1(a＞b＞0)上一点,F1、F2是椭圆的左、右焦点,若∠F1PF2=60°,且△F1PF2的面积为a2.(1)求此椭圆的离心率;(2)若直线x-y=0与椭圆交于A、B两点,且·=-1,求此椭圆方程. 答案：解：(1)如图,设|PF1|=m,|PF2|=n,则  由（2）得(m+n)2-3mn=4c2,把（1）（3）代入得4a2-3·a2=4c2.∴e=.(2)∵e=,∴椭圆方程可设为+=1,与直线方程联立有∴又·=-1,(x1+c,y1)·(x2+c,y2)=-1,∴(x1+c)(x2+c)+y1y2=-1.∴x1x2+c(x1+x2)+c2+y1y2=-1(c2=2b2).∴-2b2+b·0+2b2+(-)=-1.∴b2=3.故椭圆方程为+=1.

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