题目

如图，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BC=2，∠ABC=120°，又顶点A1在底面ABC上的射影落在AC上，侧棱AA1与底面成60°的角，D为AC中点.(1)求证：AA1⊥BD；(2)(理)若面A1DB⊥面DC1B，求侧棱AA1之长.(文)若侧棱长AA1=，求证：A1D⊥平面BDC1. 答案：答案：(1)证明：在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，因为A1在底面ABC上射影落在AC上，则平面A1ACC1经过底面ABC的垂线.故侧面A1C⊥面ABC，又BD为等腰△ABC底边AC上中线，则BD⊥AC，从而BD⊥面AC.∴BD⊥面A1C.又AA1面A1C,∴AA1⊥BD.6分(2)(理)解:在底面ABC中△ABC是等腰三角形，D为底边AC上的中点，故DB⊥AC.又面ABC⊥面A1C，∴DB⊥面A1C，则DB⊥DA1，DB⊥DC1，则∠A1DC1是二面角A1OBC1的平面角.∵面A1DB⊥面DC1B，则∠A1DC1=90°.将平面A1ACC1放在平面坐标系中(如上图).∵侧棱AA1和底面成60°的角，∴∠A1AC=60°.设A1A=a.则A1(,a)、C1(+2,a)、A(0,0)、C(2,0),AC中点D(，0).由=0,知(-,a)·(+,a)=0.∴a2=3,a=.故所求侧棱AA1长为. (文)证明：在△ABC中，AB=BC=2,∠ABC=120°，则由余弦定理可知AC=2，D为AC中点,故AD=DC=.∵AA1和底面ABC所成角为60°，则∠AA1C=60°.在A1ACC1中，A1A=AD=，∠A1AD=60°,∴A1D=,D=()2+()2-2··cos120°=9.又A1C1=2,在△A1C1D中,由勾股定理可知∠A1DC1=90°,∴A1D⊥DC1.又由(1),可知BD⊥面A1C，则BD⊥A1D，因此A1D和面BDC1内两相交直线BD与DC1均垂直，∴A1D⊥面DBC1.

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