题目

如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径。一种是从沿直线步行到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到。现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为。在甲出发后，乙从乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到。假设缆车匀速直线运动的速度为，山路长为，经测量，，. （1）求索道的长； （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ 答案：解：（1）∵，∴∴，………………2分 ∴…………4分 根据正弦定理得………………6分 （2）设乙出发t分钟后，甲．乙距离为d，则根据余弦定理 ………………8分 ∴∵即………………10分   ∴时，即乙出发分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短。………………12分 法二：解：（1）如图作BD⊥CA于点D，设BD＝20k，…………2分 则DC＝25k，AD＝48k，AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，…………4分 知：AB＝52k＝1040m．…………6分 （2）设乙出发x分钟后到达点M，此时甲到达N点， 如图所示． 则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，…………8分 由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2 AM·ANcosA＝7400 x2－14000 x＋10000，……10分 其中0≤x≤8，当x＝(min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．……12分

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