题目

20. 设，. （Ⅰ）证明数列是常数数列； （Ⅱ）试找出一个奇数，使以18为首项，7为公比的等比数列中的所有项都是数列中的项，并指出是数列中的第几项. 答案：解：（Ⅰ）当n≥2时，由已知得. 因为an=Sn-Sn-1≠0,所以Sn＋Sn-1=3n2.　 ①于是Sn+1＋Sn＝3(n+1)2.　                       ②由②－①得：an+1+an=6n+3.　                 ③于是an+2+an+1=6n+9.　                         ④由④－③得：an+2 - an＝6.　                     ⑤即数列｛an+2–an｝(n≥2)是常数数列.（Ⅱ）由①有S2＋S1＝12,所以a2=12-2a，由③有a3+a2=15，所以a3=3+2a.而⑤表明：数列｛a2k｝和｛a2k+1｝分别是以a2、a3为首项，6为公差的等差数列，所以a2k =a2+(k-1)×6=6k-2a+6, a2k +1=a3+(k-1)×6＝6k+2a-3,k∈N*.由题设知，bn=18×7n-1,当a为奇数时，a2k +1为奇数，而bn为偶数，所以bn不是数列｛a2k +1｝中的项，bn只可能是数列｛a2k｝中的项.若b1＝18是数列｛a2k｝中的第k0项，由18＝6k0-2a+6得a=3k0-6,取k0＝3,得a=3，此时a2k =6k,由bn= a2k得18×7n-1＝6k,k=3×7n-1∈N*,从而bn是数列｛an｝中的第6×7n-1项.（注：答案取满足a=3k0-6,k0∈N*的任一奇数，说明bn是数列｛an｝中的第6×7n-1＋－2项即可）

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