题目

知函数f（x）=ax2﹣2x+lnx（a≠0，a∈R）． （1）判断函数 f （x）的单调性； （2）若函数 f （x）有两个极值点x1，x2，求证：f（x1）+f（x2）＜﹣3． 　 答案：解：（1）由题意得，函数f（x）的定义域是（0，+∞）， f′（x）=2ax﹣2+=， 令g（x）=2ax2﹣2x+1，△=4﹣8a， ①a≥时，△=4﹣8a≤0，f′（x）≥0恒成立， 则f（x）在（0，+∞）递增； ②a＜时，△=4﹣8a＞0， 由g（x）=0，解得：x1=，x2=， （i）0＜a＜时，0＜x1＜x2， 此时f（x）在区间（x1，x2）递减，在（0，x1），（x2，+∞）递增； （ii）a＜0时，x2＜0＜x1， 此时f（x）在区间（x1，+∞）递减，在（0，x1）递增， ∴a≥时，f（x）在（0，+∞）递增， 0＜a＜时，f（x）在区间（x1，x2）递减，在（0，x1），（x2，+∞）递增， a＜0时，f（x）在区间（x1，+∞）递减，在（0，x1）递增；------------6分 （2）证明：由（1）得0＜a＜时，函数f（x）有2个极值点x1，x2， 且x1+x2=，x1x2=， ∴f（x1）+f（x2）=﹣（lna+）﹣（1+ln2）， 令h（a）=﹣（lna+）﹣（1+ln2），（0＜a＜）， 则h′（a）=﹣（﹣）=＞0， ∴h（a）在（0，）递增， 则h（a）＜h（）=﹣（ln+2）﹣（1+ln2）=﹣3， 即f（x1）+f（x2）＜﹣3．-------6分

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