题目

(本小题满分16分) 已知函数和函数，记． （1）当时，若在上的最大值是，求实数的取值范围； （2）当时，判断在其定义域内是否有极值，并予以证明； （3）对任意的，若在其定义域内既有极大值又有极小值，试求实数的取值范围． 答案：(本小题满分16分)解：（1）时，． ①当时，，不合题意； ②当时，在上递增，在上递减，而，故不合题意； ③当时，在上递减，在上递增， 在上的最大值是，所以，即，所以． 综上所述，实数的取值范围是． （2）时，定义域为，． ①当时，，在上单调递增，从而在其定义域内没有极值； ②当时，，令有，但是时，，单调递增，时，，也单调递增，所以在其定义域内也没有极值． 综上，在其定义域内没有极值． （3）据题意可知，令，即方程 在上恒有两个不相等的实数根．即恒成立，因为，，所以．

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