题目

如图19，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=6，AD=4，AA1=3，分别过BC、A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1=，V2=，V3=V.若V1∶V2∶V3=1∶4∶1，试求截面A1EFD1的面积.图19 答案：探究：利用体积关系得到面积的关系解决此类问题，且灵活应用“转化”这一重要数学思想.截面A1EFD1为一个矩形,求其面积只要求出A1E的长度.注意到被两平行平面分割而成的三部分都是棱柱，其体积比也就是在侧面A1B被分割成的三个图形的面积比,于是容易得到各线段长度比进而得到线段AE的长度,再利用勾股定理容易得到A1E的长度.解：因为V1∶V2∶V3=1∶4∶1，又棱柱AEA1—DFD1，EBE1A1—FCF1D1，B1E1B—C1F1C的高相等，所以∶∶=1∶4∶1.所以=×3×6=3，即×3×AE=3.所以AE=2.在Rt△A1AE中，A1E==,所以截面A1EFD1的面积为A1E×A1D1=A1E×AD=4.答：截面A1EFD1的面积为4.

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