题目

在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0,p)作直线与抛物线x2=2py(p＞0)相交于A、B两点.（1）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值.（2）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程;若不存在，请说明理由. 答案：(1)依题意，点N的坐标为N(0,-p)，可设A(x1,y1)，B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+p，与x2=2py联立得消去y得x2-2pkx-2p2=0.由韦达定理得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.于是S△ABN=S△BCN+S△ACN=·2p|x1-x2|=p|x1-x2|=p=p=2p2,∴当k=0时,(S△ABN)min=2p2.(2)假设满足条件的直线l存在，其方程为y=a，设AC的中点为O′，l与AC为直径的圆相交于点P，Q,PQ的中点为H，则O′H⊥PQ,Q′点的坐标为(,).∵|O′P|=|AC|==,|O′H|=|a|=|2a-y1-p|,∴|PH|2=|O′P|2-|O′H|2=(y12+p2)(2a-y1-p)2=(a)y1+a(p-a).∴|PQ|2=(2|PH|)2=4［(a)y1+a(p-a)］.令a=0,得a=,此时|PQ|=p为定值,故满足条件的直线l存在,其方程为y=,即抛物线的通径所在的直线.

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