题目

18. 如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE=FC1=1.（1）求证：E、B、F、D1四点共面； （2）若点G在BC上，BG＝，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥平面BCC1B1； （3）用θ表示截面EBFD1和侧面BCC1B1，所成的锐二面角的大小，求tanθ. 答案：解法一：（1）如图，在DD1上取点N，使DN=1，连结EN，CN，则AE=DN=1，CF=ND1=2.因为AE∥DN，ND1∥CF，所以四边形ADNE、CFD1N都为平行四边形.从而ENAD，FD1∥CN.又因为ADBC，所以ENBC，故四边形BCNE是平行四边形，由此推知CN∥BE，从而FD1∥BE.因此，E、B、F、D1四点共面.（2）如图，GM⊥BF，又BM⊥BC，所以∠BGM=∠CFB，BM=BG·tan∠BGM=BG·tan ∠CFB=BG·=×=1.因为AEBM，所以ABME为平行四边形，从而AB∥EM。又AB⊥平面BCC1B1，所以EM⊥平面BCC1B1。（3）如图，连结EH，因为MH⊥BF，EM⊥BF，所以BF⊥平面EMH，得EH⊥BF。于是∠EHM是所求的二面角的平面角，即∠EHM＝θ。因为∠MBH＝∠CFB，所以MH=BM·sin∠MBH=BM·sin∠CFB=BM·=1×，tanθ=.解法二：（1）建立如图所示的坐标系，则=（3，0，1）， =（0，3，2）， =（3，3，3）.所以＝＋。故、、共面。又它们有公共点B，所以E、B、F、D1四点共面。（2）如图，设M（0，0，z），则＝（0， -，z），而＝（0，3，2），由题设得·＝－·3＋z·2=0，得z=1。因为M（0，0，1），E（3，0，1），有＝（3，0，0）.又＝（0，0，3）， ＝（0，3，0），所以·＝0， ·＝0，从而ME⊥BB1，ME⊥BC。故ME⊥平面BCC1B1。（3）设向量＝（x，y，3）⊥截面EBFD1，于是⊥，⊥。而＝（3，0，1），＝（0，3，2），得·＝3x+3=0， ·＝3y+6=0，解得x= -1，y= -2，所以＝（－1，－2，3）.又＝（3，0，0）⊥平面BCC1B1，所以和的夹角等于θ或π－θ（θ为锐角）。于是cosθ=.故tanθ=.

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