题目

已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=（3n+Sn）对一切正整数n成立 （I）证明：数列{3+an}是等比数列，并求出数列{an}的通项公式； （II）设，求数列{bn}的前n项和Bn． 答案：考点： 数列递推式；数列的求和． 专题： 计算题；转化思想． 分析： （I）把Sn和Sn+1相减整理求得an+1=2an+3，整理出3+an+1=2（3+an），判断出数列{3+an}是首相为6，公比为2的等比数列，求得3+an，则an的表达式可得． （II）把（I）中的an代入bn，求得其通项公式，进而利用错位相减法求得数列的前n项的和． 解答： 解：（I）由已知得Sn=2an﹣3n， Sn+1=2an+1﹣3（n+1），两式相减并整理得：an+1=2an+3 所以3+an+1=2（3+an），又a1=S1=2a1﹣3，a1=3可知3+a1=6≠0，进而可知an+3≠0 所以，故数列{3+an}是首相为6，公比为2的等比数列， 所以3+an=6•2n﹣1，即an=3（2n﹣1） （II）bn=n（2n﹣1）=n2n﹣n 设Tn=1×2+2×22+3×23++n×2n（1）2Tn=1×22+2×23++（n﹣1）2n+n×2n+1（2） 由（2）﹣（1）得Tn=﹣（2+22+23++2n）+n2n+1=∴ 点评： 本题主要考查了数列的递推式的应用，数列的通项公式和数列的求和问题．应熟练掌握一些常用的数列的求和方法如公式法，错位相减法，叠加法等．

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