题目

如图，在△ABC中，AB=AC，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），在AD的右侧作△ACE，使得AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE． （1）当D在线段上时． ①求证：． ②请判断点D在何处时，，并说明理由． （2）当时，若中最小角为28°，求的度数． 答案：（1）①证明见解析；②D运动到BC中点时，AC⊥DE；（2）28°或32°或92°． 【解析】 【分析】 （1）①根据SAS即可证明；②D运动到BC中点时，AC⊥DE；利用等腰三角形的三线合一即可证明； （2）分三种情形分别求解即可解决问题． 【详解】 （1）①∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD=∠CAE， 在△BAD和△CAE中，∵， ∴△BAD≌△CAE． ②D运动到BC中点时，AC⊥DE．理由如下： 如图2，连接DE． ∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD． ∵∠BAD=∠CAE，∴∠CAD=∠CAE． ∵AD=AE，∴AC⊥DE． （2）∠ADB的度数为28°或32°或92°． 理由：①如图3①中，当点D在CB的延长线上时． ∵CE∥AB，∴∠BAE=∠AEC，∠BCE=∠ABC． ∵△DAB≌△EAC，∴∠ADB=∠AEC，∠ABD=∠ACE，∴∠BAC=∠BAE+EAC=∠AEC+∠EAC=180°﹣∠ACE=180°﹣∠ABD=∠ABC=∠ACB，∴△ABC是等边三角形． 此时∠ADB或∠BAD可为最小角28°， ∴∠ADB=∠ABC﹣∠BAD=32°或∠ADB=28°． ②当点D在线段BC上时，同理可证△BAD≌△CAE，∴∠ABD=∠ACE． ∵CE∥AB，∴∠BAC=∠ACE=∠ABC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABD=60°，此时最小角只能是∠DAB=28°，此时∠ADB=180°﹣28°﹣60°=92°． ③当点D在BC 延长线上时，同理△BAD≌△CAE，∠BAC=∠ACE=∠ABC， ∴△ABC为等边三角形，∠BAD=∠CAE，AD=AE． ∵∠BAC=∠DAE=60°，∴△ADE为等边三角形． 此时△ABD中，最小角只能是∠ADB=28°． 综上所述：满足条件的∠ABD的值为28°或32°或92°． 【点睛】 本题考查了三角形综合题、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考压轴题．

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