题目

（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，侧棱PD垂直于底面，PD＝DC＝2BC，E为棱PC上的点，且平面BDE⊥平面PBC．（1）求证：E为PC的中点；（2）求二面角A-BD-E的大小．答案：解法一：（1）证明：如图，作CF⊥BE，垂足为F，由平面BDE⊥平面PBC，则CF⊥平面BDE，知CF⊥DE．因为PD⊥平面ABCD，BC⊥CD， CD为DE在平面ABCD内的射影，所以BC⊥DE，所以DE⊥平面PBC．于是DE⊥PC，又PD＝PC，所以E为PC的中点．………………6分（2）作EG⊥DC，垂足为G，则EG∥PD，从而EG⊥平面ABCD．作GH⊥BD，垂足为H，连接EH，则BD⊥EH，故∠EHG为二面角A－BD－E的平面角的补角．…………………9分不妨设BC＝1，则PD＝DC＝2，在Rt△EGH中，EG＝PD＝1， GH＝＝， ∴tan∠EHC＝＝．因此二面角A－BD－E的大小为－arctan．……………………12分解法二：不妨设BC＝1，则PD＝DC＝2．建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，则D(0，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)．（1）证明：设＝，则E(0，，)．设a＝ (x1，y1，z1)为面PBC的法向量，则a⊥，a⊥，又＝(1，0，0)，＝(0，－2，2)， ∴a＝x1＝0，a＝－2y1＋2z1＝0，取a＝(0，1，1)．设b＝(x2，y2，z2)为面BDE的法向量，则b⊥，b⊥，又＝(1，2，0)，＝(0，，)， ∴b＝x2＋2y2＝0，b＝＋＝0，取b＝(，，1)． ∵平面BDE⊥平面PBC， ∴a·b＝＋1＝0，＝1．所以E为PC的中点．…………………………………………6分（2）由（Ⅰ）知，b＝(2，－1，1)为面BDE的法向量，又c＝(0，0，1)为面ADB的法向量， ∵cos<b，c>＝＝，所以二面角A－BD－E的大小为－arccos．………………12分

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