题目

如图，一次函数y＝－x＋4的图像与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合．   ⑴写出点A的坐标        ； ⑵当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得△OQB与 △APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在， 请说明理由． ⑶若点M在直线l上，且∠POM＝90°，记△OAP外接圆和 △OAM外接圆的面积分别是、，求的值． 答案：解（1）令y=0，得：﹣x+4=0，解得x=4， 所以点A的坐标为（4，0）； （2）存在． 理由：如图所示： ∵∠OBA=∠BAP，∴它们是对应角， ∴BQ=PA， 将x=0代入y=﹣x+4得：y=4， ∴OB=4， 由（1）可知OA=4， 在Rt△BOA中，由勾股定理得：AB==4． ∵△BOQ≌△AQP． ∴QA=OB=4，BQ=PA． ∵BQ=AB﹣AQ=4﹣4， ∴PA=4﹣4． ∴点P的坐标为（4，4﹣4）． （3）如图所示： 令PA=a，MA=b，△OAP外接圆的圆心为O1，△OAM的外接圆的圆心为O2， ∴OP2=OA2+PA2=42+a2=16+a2，OM2=OA2+MA2=42+b2=16+b2， 在Rt△POM中，PM2=OP2+OM2=a2+16+b2+16， 又∵PM2=（PA+AM）2=（a+b）2=a2+2ab+b2， ∴ab=16， ∵O1A2=O1Q2+QA2=（）2+（）2=a2+4，O2A2=O2N2+NA2=（）2+（）2=b2+4， ∴S1=π×O1A2=（a2+4）π，S2=π×O2A2=（b2+4）π， ∴===×=

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