题目

已知函数f（x）=ex﹣2x． （Ⅰ）求函数f（x）的极值； （Ⅱ）证明：当x＞0时，x2＜ex． 答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，得到函数的单调区间，从而求出函数的极值即可； （Ⅱ）令g（x）=ex﹣x2，求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可． 【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，f′（x）=ex﹣2， 令f′（x）=0，得x=ln2， 当x＜ln2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减； 当x＞ln2时，f′（x）＞0，f（x）单调递增； 所以当x=ln2时，f（x）有极小值， 且极小值为f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4，f（x）无极大值… （Ⅱ）证：令g（x）=ex﹣x2，则g′（x）=ex﹣2x 由（Ⅰ）得，g'（x）=f（x）≥f（ln2）=2﹣ln4＞0，即g'（x）＞0 所以g（x）在R上单调递增，又g（0）=1＞0， 所以当x＞0时，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜ex…12分

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