题目

如图：在直角坐标系xoy中，设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右两个焦点分别为F1、F2．过右焦点F2与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为． （1）求椭圆C的方程； （2）设椭圆C的一个顶点为B（0，﹣b），求点M到直线BF1的距离； （3）过F1M中点的直线l1交椭圆于P、Q两点，求|PQ|长的最大值以及相应的直线方程．   答案： 【考点】椭圆的简单性质． 【专题】方程思想；待定系数法；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）设右焦点F2为（c，0），令x=c，代入椭圆方程，可得c=，=1，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程； （2）求得直线BF1的方程，由点到直线的距离公式，计算即可得到所求值； （3）过F1M中点的直线l1的方程设为x=m（y﹣），代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理即可得到弦长的取值范围，再由斜率为0，求得直线方程，代入椭圆方程，求得PQ的长，即可得到最大值． 【解答】解：（1）设右焦点F2为（c，0）， 令x=c，代入椭圆可得y=±b， 由M（，1），即有c=，=1， 又a2﹣b2=2，解得a=2，b=， 则椭圆方程为+=1； （2）由题意可得B（0，﹣），F1（﹣，0）， 直线BF1的方程为x+y+=0， 则点M到直线BF1的距离为=2+； （3）过F1M中点的直线l1的方程设为x=m（y﹣）， 代入椭圆方程，可得（2+m2）y2﹣m2y+m2﹣4=0， 由于中点（0，）在椭圆内，故直线与椭圆相交， 设交点P（x1，y1），Q（x2，y2）， 即有y1+y2=，y1y2=， 弦长|PQ|=•|y1﹣y2|=• =，令t=2+m2（t≥2）， 则|PQ|==， 当m=0即t=2时，取得最小值2， 即有2≤|PQ|＜； 当直线l1：y=时，代入椭圆方程，可得x=±， 即有|PQ|=． 综上可得，|PQ|的最大值为，此时直线方程为y=． 【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的性质，考查点到直线的距离公式，以及联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，化简整理的运算能力，属于中档题．  

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