题目

（本题满分14分）        如图，矩形ABCD是机器人踢球的场地，AB=170cm，AD=80cm，机器人先从AD中点E进入场地到点F处，EF=40cm，EF⊥AD。场地内有一小球从B点向A点运动，机器人从F点出发去截小球。现机器人和小球同时出发，它们均作直线运动，并且小球运动的速度是机器人行走速度的2倍。若忽略机器人圆底旋转所需的时间，则机器人最快可在何处截住小球？ 答案：（本题满分14分） 解：设该机器人最快可在G点处截住小球 ，点G在线段AB上． 设．根据题意，得． 则．………………………………………………1分 连接AF，在△AEF中，EF=AE=40cm，EF⊥AD， 所以， ．………………………………………………2分 于是．在△中，由余弦定理， 得． 所以．………………8分 解得．………………………………………………………………12分 所以， 或（不合题意，舍去）．………13分 答：该机器人最快可在线段AB上离A点70cm处截住小球．……………………14分        解法二：设该机器人最快可在G处截住小球，点G在线段AB上。        设cm，根据题意，得cm        过F作FH⊥AB，垂足为H。        ∵AE=EF=40cm，EF⊥AD，∠A=90°，        所以四边形AHFE是正方形。        则FH=40cm，GH=AB-AH-BG=（130-2x）（cm）……………………2分        在Rt△FHG中，由勾股定理，得.        所以……………………………………………………8分        解得 ………………………………………………………………12分 所以， 或（不合题意，舍去）．………13分 答：该机器人最快可在线段AB上离A点70cm处截住小球．……………………14分

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