题目

. 19(本小题满分14分)        已知椭圆 (a>b>0)与直线        x+y－1 = 0相交于A、B两点，且OA⊥OB        (O为坐标原点)． (I)   求 + 的值； (II)  若椭圆长轴长的取值范围是［,］，        求椭圆离心率e的取值范围． 答案：(Ⅰ)  2 (Ⅱ) ［ ，］ 解析:(I) 将x+y－1=0代入椭圆方程整理得：(a2+b2)x2－2a2x+a2(1－b2)=0．（*）      设A(x1, y1)、B(x2, y2)，则x1+x2=，x1x2=,  而y1y2=(1－x1)(1－x2) = ．  又∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0．∴+=0． ∴a2+b2 = 2a2b2∴ + =2        ①   经验证，此时方程(*)有解，∴+ =2．  8分 (2)将b2 = a2－c2，e = 代入①得：2－e2 = 2a2(1－e2)．   ∴e2 = =1－，而2a∈[，]，     ∴≤ e 2 ≤ ．而0 < e < 1，∴≤ e ≤ ．      故e的取值范围为［ ，］．     14分

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