题目

（本小题满分14分）已知函数，，为常数． 求函数的定义域； 若时，对于，比较与的大小； 讨论方程解的个数． 答案：解:（1）由，得：，              ∴函数的定义域．               ……………………………………3分 （2）令， 则时，。 又 （仅在时，） ∴在内是增函数，                    ……………………………………6分 ∴当时，，； 当时，     ，； 当时，　，．     ……………………………………8分 （3）讨论方程解的个数，即讨论零点的个数． 因为， 所以 ①当时，，，所以 （仅在时，） 在内是增函数， 又， 所以有唯一零点；                               ……………………………………9分 ②当时，由（2）知有唯一零点；            ……………………………………10分 ③当时，， （仅在时，） 所以在内是增函数， 又， 所以有唯一零点；                              ……………………………………11分 ④当时，， ，或时，，递增， 时，，递减．   , ; 时， ;  时， ， ∴在区间，及内各有一个零点．                                                  ……………………………………13分 综上，当时，方程有唯一解； 当时，方程有三个解．       ……………………………………14分

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