题目

设椭圆C：的左、右焦点分别为，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足，且.     （Ⅰ）求椭圆C的离心率；     （Ⅱ）设D是过三点的圆上的点，D到直线的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆的方程； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过右焦点作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，线段MN的中垂线与x轴相交于点，求实数m的取值范围． 答案：（Ⅰ）连接，因为，，所以， 即，故椭圆的离心率                  ．．．．．．．．．．．．．．．．3分    （Ⅱ）由（1）知得于是， ，      的外接圆圆心为，半径．．．．．．．．．．．．5分 到直线的最大距离等于，所以圆心到直线的距离为， 所以，解得     所求椭圆方程为.                     ．．．．．．．．．．．．．．．．7分 （Ⅲ）由（Ⅱ）知， ：         代入消得   因为过点，所以恒成立     设，则，    中点                           ．．．．．．．．．．．．．．．9分     当时，为长轴，中点为原点，则        ．．．．．．．．．．．．．．．10分 当时中垂线方程．      令，                       ，， 可得                综上可知实数的取值范围是．                 ．．．．．．．．．．．．．．12分

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