题目

已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，{bn}是等差数列，且an=bn+bn+1．（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；（Ⅱ）令cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．答案：【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（I）数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，可得：n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1，n=1时，a1=S1=11，对于上式也成立．可得an．根据{bn}是等差数列，设公差为d，且an=bn+bn+1．n分别取1，2．可得2b1+d=11，2b1+3d=17，解出即可得出．（Ⅱ）令cn==（n+1）•2n，利用错位相减法与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（I）数列{an}的前n项和Sn=3n2+8n，可得：n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=3n2+8n﹣3（n﹣1）2﹣8（n﹣1）=6n+5， n=1时，a1=S1=11，对于上式也成立． ∴an=6n+5． ∵{bn}是等差数列，设公差为d，且an=bn+bn+1． n分别取1，2． ∴2b1+d=11，2b1+3d=17，解得b1=4，d=3． ∴bn=4+3（n﹣1）=3n+1．（Ⅱ）令cn==（n+1）•2n， ∴数列{cn}的前n项和Tn=2×2+3×22+4×23+…+（n+1）•2n， 2Tn=2×22+3×23+…+n•2n+（n+1）•2n+1， ∴﹣Tn=2×2+22+23+…+2n﹣（n+1）•2n+1=2+﹣（n+1）•2n+1，可得：Tn=n•2n+1．

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