题目

如图，抛物线y＝－x2＋x＋1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C(3，0)． (1)求直线AB的函数关系式； (2)动点P在线段OC上从原点O出发以每秒一个单位的速度向点C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围； (3)设在(2)的条件下(不考虑点P与点O、点C重合的情况)，连接CM、BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否为菱形？请说明理由． 答案：解：(1)设直线AB的函数关系式为y＝ax＋b(a≠0)， 对于抛物线y＝－x2＋x＋1， 令x＝0，得y＝1，即有A(0，1)， 将点A的坐标代入直线AB的函数关系式，得b＝1， 令x＝3，得y＝，即有B(3，)， 将点B的坐标代入直线AB的函数关系式，得a＝， ∴直线AB的函数关系式为y＝x＋1；………………………(3分) (2)显然OP＝t，即P(t，0)， 将x＝t代入抛物线解析式可得y＝－t2＋t＋1， 即N(t，－t2＋t＋1)， 将x＝t代入直线AB的函数关系式可得y＝t＋1， 即M(t，t＋1)， ∴s＝MN＝－t2＋t＋1－(t＋1)， ∴s＝－t2＋t(0≤t≤3)；……………………………………(6分) (3)显然NM∥BC， ∴要使得四边形BCMN为平行四边形，只要MN＝BC， 即s＝－t2＋t＝， 解得t＝1或t＝2. ①当t＝1时，M(1，)， ∴MP＝，CP＝OC－OP＝2. 在Rt△MPC中，CM＝＝＝BC， ∴四边形BCMN为菱形； ②当t＝2时，M(2，2)， ∴MP＝2，CP＝1. 在Rt△MPC中，CM＝＝≠BC. ∴四边形BCMN不是菱形． 综上，当t＝1或t＝2时，四边形BCMN为平行四边形；当t＝1 时，平行四边形BCMN为菱形．……………………………(9分)

查看本题答案和解析