题目

如图，已知四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC为直角，AD∥BC，AB⊥AC，AB=AC=2，G为△PAC的重心，E为PB的中点，F在线段BC上，且CF=2FB.（1）求证：FG∥平面PAB；（2）求证：FG⊥AC；（3）当二面角P-CD-A多大时，FG⊥平面AEC？ 答案：解法一：（1）连结CG并延长交PA于M，连结BM.∵G为△PAC的重心，∴CG∶GM=2∶1.又CF∶FB=2∶1,∴FG∥BM.∵BM平面PAB，FG平面PAB，∴FG∥平面PAB.                                                           （2）∵PA⊥平面ABCD，PA⊥AC，又AB⊥AC，PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB.∴AC⊥BM.由（1）已证FG∥BM，∴FG⊥AC.                                            （3）连结EM，由（2）知FG⊥AC,因此FG⊥平面AEC的充要条件是FG⊥AE，即BM⊥AE.∵E、M分别为PB、PA的中点，∴EM=BA=1，EM⊥PA.设EA∩BM=H，则EH=HA.设PA=h，则EA=PB=，EH=.∵Rt△AME∽Rt△MHE,∴EM2=EH·EA.∴12=·,解得h=2.在直角梯形ABCD中，由已知可得AD=，∵PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，∴PD⊥CD.∴∠PDA为二面角PCDA的平面角，其大小为arctan2时，FG⊥平面AEC.1解法二：以A为原点，建立如图所示的直角坐标系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0）.设P（0，0，h）.∵G为△PAC的重心，E为PB的中点，F在线段BC上，且CF=2FB，∴G（0，，h），E（1，0，h），F（，，0）.                                            （1）=（-，0，h）,=(2,0,0), =(0,0,h),设=x+y,则(-,0,h)=(2x,0,yh).解得x=-,y=,即=-+.                                              ∴与、共面.∵FG平面PAB，∴FG∥平面PAB.（2）=（0，2，0），·=0，∴FG⊥AC.                    （3）由（2）知FG⊥AC，因此，FG⊥平面AEC的充要条件是FG⊥AE，即·=0.∵=（1，0，h），∴·=-+h2,解得h=2.在直线梯形ABCD中，由已知可得AD=.∵PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，∴PD⊥CD.∴∠PDA为二面角P-CD-A的平面角，大小为arctan2.∴当二面角P-CD-A为arctan2时，FG⊥平面AEC.

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