题目

如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）求证：△PCF是等腰三角形； （3）若AF＝6，EF＝2，求⊙O 的半径长． 答案：（1）证明：∵PD为⊙O的切线， ∴OC⊥DP， ∵AD⊥DP， ∴OC∥AD， ∴∠DAC＝∠OCA， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠OAC＝∠DAC， ∴AC平分∠DAB； （2）证明：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CE平分∠ACB， ∴∠BCE＝45°， ∴∠BOE＝2∠BCE＝90°， ∴∠OFE+∠OEF＝90°， 而∠OFE＝∠CFP， ∴∠CFP+∠OEF＝90°， ∵OC⊥PD， ∴∠OCP＝90°，即∠OCF+∠PCF＝90°， 而∠OCF＝∠OEF， ∴∠PCF＝∠CFP， ∴△PCF是等腰三角形； （3）解：连结OE． ∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°， ∵CE平分∠ACB，∴∠BCE＝45°， ∴∠BOE＝90°，即OE⊥AB， 设⊙O 的半径为r，则OF＝6﹣r， 在Rt△EOF中，∵OE2+OF2＝EF2， ∴r2+（6﹣r）2＝（2）2， 解得，r1＝4，r2＝2， 当r1＝4时，OF＝6﹣r＝2（符合题意）， 当r2＝2时，OF＝6﹣r＝4（不合题意，舍去）， ∴⊙O的半径r＝4．

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