题目

（20分）在半径r＝2m、孔径d＝0.5m的凹面镜的焦点位置上，放一块圆形屏幕，使平行于轴的所有入射光线经凹面镜反射后都能达到该圆形屏幕。试求圆形屏幕的直径。如果在上述条件下圆形屏幕的直径减少到仅由原来的，问有多少部分的光能达到在同样位置的屏幕上？ 答案：解析：我们只有采用较精确形式的反射定律，通过利用某些数学近似来求解本题。　　按照教科书中通常的理论推导，半径PO＝R的凹面镜的焦点位于距离R的中点F处。我们用h表示凹面镜孔径之半。在P点的入射光线与半径的夹角为α，反射后与轴交于F1点。OP F1是等腰三角形。则：故实际焦点与理论距离的偏差为我们把圆形屏放在点F处，要求出屏幕的最小半径值x。在直角三角形P F F1中，应用通常的小角近似，得：对于小角度：，故将代入，得焦“斑”的半径为将数值：h＝50/2＝25cm；R＝200cm，代入即得：x＝0.195cm＝1.95mm再看问题的第二部分。如果圆形屏的半径为x，则入射到凹面镜的光束半径为　　　如果我们用半径kx的屏代替半径为x的屏，则入射光束的半径为：入射光的量正比于，因此本题情形是，由此得出，落在圆形屏幕上光的量将是前者的

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