题目

四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD．已知∠ABC＝45°，AB＝2，BC=2，SA＝SB＝． （Ⅰ）求证：SA⊥BC； （Ⅱ）求直线SD与平面SAB所成角的正弦值． 答案：【解法一】：（Ⅰ）作，垂足为O，连结AO，由侧面底面ABCD，得底面ABCD， 因为SA=SB，所以AO=BO， 又，故为等腰直角三角形，， 由三垂线定理，得． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，依题设， 故，由，，，得 SO=1，．△SAB的面积．连结DB， 得△DAB的面积设D到平面SAB的距离为h， 由于，得，解得． 设SD与平面SAB所成角为，则． 所以，直线SD与平面SAB所成的正弦值为． 【解法二】：（Ⅰ）作SO⊥BC，垂足为O，连结SO，由侧面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD． 因为SA=SB，所以AO=BO． 又，△AOB为等腰直角三角形，AO⊥OB． 如图，以O为坐标原点，OA为x轴正向，建立直角坐标系O—xyz， ，，，S（0，0，1），， ，，所以SA⊥BC． （Ⅱ）取AB中点E，， 连结SE，取SE中点G，连结OG，． ，，． ，，OG与平面SAB内两条相交直线SE，AB垂直。 所以OG⊥平面SAB，与的夹角记为，SD与平面SAB所成的角记为，则与互余． ，．，， 所以，直线SD与平面SAB所成的角的正弦值为．

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