题目

如图，矩形ABCD中，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点， PO的延长线交BC于Q. （1）求证：△ P O D ≌ △Q O B ； （2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）.设点P运动时间为t秒，请用t表示PD的长；并求t为何值时，四边形P B Q D是菱形． 答案：（1）答：AB＝AH. ……………………1分 证明：延长CB至E使BE=DN，连结AE ∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠D=90°， ∴∠ABE=180°－∠ABC＝90° 又∵AB＝AD ∴△ABE≌△AEN（SAS）……………………3分 ∴∠1＝∠2，AE=AN ∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45° ∴∠1+∠3＝90°－∠MAN＝45° ∴∠2+∠3＝45° 即∠EAM=45° 又AM=AM ∴△EAM≌△NAM（SAS）……………………5分 又EM和NM是对应边 ∴AB＝AH（全等三角形对应边上的高相等）……………………6分 (2)作△ABD关于直线AB的对称△ABE，作△ACD关于直线AC的对称△ACF， ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90° ∴∠E＝∠F＝90°， 又∠BAC=45° ∴∠EAF=90° 延长EB、FC交于点G，则四边形AEGF是矩形， 又AE=AD=AF ∴四边形AEGF是正方形……………………8分 由（1）、（2）知：EB＝DB＝2，FC＝DC＝3 设AD＝，则EG=AE=AD=FG＝ ∴BG＝－2；CG＝－3；BC＝2+3＝5 在Rt△BGC中，……………………9分 解之 得，（舍去） ∴AD的长为6…………………………………………10分

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