题目

已知函数f（x）=2lnx﹣3x2﹣11x． （1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）若关于x的不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1恒成立，求整数a的最小值． 答案：解：（1）∵f′（x）=，f′（1）=﹣15，f（1）=﹣14， ∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣14=﹣15（x﹣1），即y=﹣15x+1； （2）令g（x）=f（x）﹣（a﹣3）x2﹣（2a﹣13）x﹣1=2lnx﹣ax2+（2﹣2a）x﹣1， ∴g′（x）=． 当a≤0时，∵x＞0，∴g′（x）＞0，则g（x）是（0，+∞）上的递增函数． 又g（1）=﹣a+2﹣2a﹣1=1﹣3a＞0，∴不等式f（x）≤（a﹣3）x2+（2a﹣13）x+1不恒成立； 当a＞0时，g′（x）=． 令g′（x）=0，得x=，∴当x∈（0，）时，g′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0． 因此，g（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数． 故函数g（x）的最大值为g（）=≤0． 令h（a）=．   则h（a）在（0，+∞）上是减函数， ∵h（1）=﹣2＜0，  ∴当a≥1时，h（a）＜0，∴整数a的最小值为1． 　

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