题目

已知f（x）=ax2+3（a+1）x+3a+4（a∈Z且a＜0）的图象过点（m-2，0）（m∈R），设g（x）=f［f（x）］，F（x）=pg（x）+f（x），求常数p，使得F（x）在（-∞，-3）上是减函数，在［-3，0］上是增函数. 答案：解：∵f（m-2）=0,∴a（m-2）2+3（a+1）（m-2）+3a+4=0.∵m∈R,∴m-2∈R,∴Δ=9（a+1）2-4a（3a+4）≥0,即3a2-2a-9≤0.解得≤a≤.又a∈Z且a＜0,∴a=-1.∴f（x）=1-x2,g（x）=f［f（x）］=1-［f（x）］2=1-（x2-1）2.令y=F（x）,则y=p［1-（x2-1）2］+（1+x2）=-px4+（2p-1）x2+1.∴y′=-4px3+2（2p-1）x,依题意y′｜x=-3=0.即-4p×（-27）-6（2p-1）=0,∴p=-.此时,y=F（x）=x4-x2+1.y′=x（x2-9）.当x∈（-∞,-3） 时,y′＜0.当x∈（-3,0）时,y′＞0.∴当p=-时,函数y=F（x）在（-∞,-3）内递减,在（-3,0）内递增.

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