题目

已知函数 （1）若x=1是函数f（x）的极大值点，求函数f（x）的单调递减区间； （2）若恒成立，求实数ab的最大值． 答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件． 【分析】（1）求导数，利用x=1是函数f（x）的极大值点，确定a的范围，即可得到函数f（x）的单调递减区间； （2）构造函数，确定函数的单调性，可得函数的最值，即可得到结论． 【解答】解：（1）求导数可得，f′（x）= ∵x=1是函数f（x）的极大值点， ∴0＜a＜1 ∴函数f（x）的单调递减区间为（0，a），（1，+∞）； （2）∵恒成立， ∴alnx﹣x+b≤0恒成立， 令g（x）=alnx﹣x+b，则g′（x）= ∴g（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减 ∴g（x）max=g（a）=alna﹣a+b≤0 ∴b≤a﹣lna，∴ab≤a2﹣a2lna 令h（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则h′（x）=x（1﹣2lnx） ∴h（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减 ∴h（x）max=h（）=，∴ab≤ 即ab的最大值为． 　

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