题目

如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD. (1)证明：PA⊥BD； (2)设PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值． 答案：　(1)因为∠DAB＝60°，AB＝2AD， 由余弦定理得BD＝AD. 从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD. 又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD. 所以BD⊥平面PAD，故PA⊥BD. (2)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴，建立空间直角坐标系D－xyz，则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0,0,1)． 可取m＝(0，－1，－)．cos〈m，n〉＝＝－. 故二面角A－PB－C的余弦值为－.

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