题目

已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.（1）求数列{bn}的通项bn；（2）设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a＞0，且a≠1)，记Sn是数列{an}的前n项和.试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论. 答案：解析：（1）设数列{bn}的公差为d，由题意得∴bn=3n-2.（2）由bn=3n-2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+)=loga［(1+1)(1+)(1+)…(1+)］,logabn+1=loga.因此要比较Sn与logabn+1的大小，可先比较（1+1）（1+）…（1+）与的大小.取n=1,有（1+1）＞取n=2，有（1+1）（1+）＞，……由此推测（1+1）（1+）…（1+）＞.                              ①若①式成立，则由对数函数性质可断定：当a＞1时，Sn＞logabn+1;当0＜a＜1时，Sn＜logabn+1.下面用数学归纳法证明①式.(ⅰ)当n=1时，已验证①式成立.（ⅱ）假设当n=k(k≥1)时，①式成立，即（1+1）（1+）…（1+）＞.那么，当n=k+1时，（1+1）（1+）…（1+）·［1+］＞(1+)=(3k+2).∵［(3k+2)］3-()3==＞0，∴(3k+2)＞=.因而(1+1)(1+)…（1+）(1+)这就是说①式当n=k+1时也成立.由（ⅰ）（ⅱ）知，①式对任何自然数n都成立.由此证得：当a＞1时，Sn＞logabn+1当0＜a＜1时，Sn＜logabn+1.

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