题目

如图所示，在平面直角坐标系中，⊙C经过坐标原点O，且与x轴，y轴分别相交于M（4，0），N（0，3）两点．已知抛物线开口向上，与⊙C交于N，H，P三点，P为抛物线的顶点，抛物线的对称轴经过点C且垂直x轴于点D． （1）求线段CD的长及顶点P的坐标； （2）求抛物线的函数表达式； （3）设抛物线交x轴于A，B两点，在抛物线上是否存在点Q，使得S四边形OPMN=8S△QAB，且△QAB∽△OBN成立？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：【解答】解： （1）如图，连接OC， ∵M（4，0），N（0，3）， ∴OM=4，ON=3， ∴MN=5， ∴OC=MN=， ∵CD为抛物线对称轴， ∴OD=MD=2， 在Rt△OCD中，由勾股定理可得CD===， ∴PD=PC﹣CD=﹣=1， ∴P（2，﹣1）； （2）∵抛物线的顶点为P（2，﹣1）， ∴设抛物线的函数表达式为y=a（x﹣2）2﹣1， ∵抛物线过N（0，3）， ∴3=a（0﹣2）2﹣1，解得a=1， ∴抛物线的函数表达式为y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3； （3）在y=x2﹣4x+3中，令y=0可得0=x2﹣4x+3，解得x=1或x=3， ∴A（1，0），B（3，0）， ∴AB=3﹣1=2， ∵ON=3，OM=4，PD=1， ∴S四边形OPMN=S△OMP+S△OMN=OM•PD+OM•ON=×4×1+×4×3=8=8S△QAB， ∴S△QAB=1， 设Q点纵坐标为y，则×2×|y|=1，解得y=1或y=﹣1， 当y=1时，则△QAB为钝角三角形，而△OBN为直角三角形，不合题意，舍去， 当y=﹣1时，可知P点即为所求的Q点， ∵D为AB的中点， ∴AD=BD=QD， ∴△QAB为等腰直角三角形， ∵ON=OB=3， ∴△OBN为等腰直角三角形， ∴△QAB∽△OBN， 综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（2，﹣1）． 　

查看本题答案和解析