题目

已知抛物线y2＝4x，过点M(0,2)的直线l与抛物线交于A、B两点，且直线l与x轴交于点C. (1)求证：|MA|，|MC|，|MB|成等比数列； (2)设＝α， ＝β，试问α＋β是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 答案：(1)由题意设直线l的方程为：y＝kx＋2(k≠0)， 联立方程可得，消去y并整理得：k2x2＋(4k－4)x＋4＝0① 设A(x1，y1) ，B(x2 ，y2)，又C(－，0)，则 x1＋x2＝－，x1·x2＝② |MA|·|MB|＝|x1－0|·|x2－0|＝， 而|MC|2＝(|－－0|)2＝， ∴|MC|2＝|MA|·|MB|≠0 ， 即|MA|，|MC|，|MB|成等比数列. (2)由＝α， ＝β得， (x1，y1－2)＝α(－x1－，－y1)， (x2，y2－2)＝β(－x2－，－y2)， 即得：α＝，β＝，则 α＋β＝  把(1)中②代入上式整理可得α＋β＝－1，故α＋β为定值且定值为－1.

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