题目

已知函数f(x)＝ex－ln(x＋m)． (1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性； (2)当m≤2时，证明f(x)>0. 答案： (1)解　f(x)＝ex－ln(x＋m)⇒f′(x)＝ex－⇒f′(0)＝e0－＝0⇒m＝1， 定义域为{x|x>－1}， f′(x)＝ex－＝， 显然f(x)在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增． (2)证明　令g(x)＝ex－ln(x＋2)， 则g′(x)＝ex－ (x>－2)． h(x)＝g′(x)＝ex－ (x>－2)⇒h′(x)＝ex＋>0， 所以h(x)是单调递增函数，h(x)＝0至多只有一个实数根， 又g′(－)＝－<0，g′(0)＝1－>0， 所以h(x)＝g′(x)＝0的唯一实根在区间内， 设g′(x)＝0的根为t， 则有g′(t)＝et－＝0， 所以，et＝⇒t＋2＝e－t， 当x∈(－2，t)时，g′(x)<g′(t)＝0，g(x)单调递减； 当x∈(t，＋∞)时，g′(x)>g′(t)＝0，g(x)单调递增； 所以g(x)min＝g(t)＝et－ln(t＋2)＝>0， 当m≤2时，有ln(x＋m)≤ln(x＋2)， 所以f(x)＝ex－ln(x＋m)≥ex－ln(x＋2) ＝g(x)≥g(x)min>0.

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