题目

已知斜三棱柱,,,在底面上的射影恰为的中点,又知.  (1)求证：平面；     (2)求到平面的距离； (3)求二面角的平面角的余弦值的大小. 答案：解法：(1)∵平面,∴平面平面,又,∴平面, 得,又, ∴平面 (2)∵,四边形为菱形,故, 又为中点,知∴.取中点,则平面,从而面面过作于,则面,在中,,故,即到平面的距离为 (3)过作于,连,则,从而为二面角的平面角,在中,,∴在中,,故二面角的平面角余弦的大小为 解法：(1)如图,取的中点,则,∵,∴, 又平面,以为轴建立空间坐标系, 则,,,,,, ,,由,知, 又,从而平面 (2)由,得.设平面的法向量为,,,,设,则∴点到平面的距离 (3)(3)设面的法向量为,,,∴ 设,则,故,根据法向量的方向 可知二面角的平面角余弦的大小为

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