题目

（本题满分14分）        已知函数，点．    （Ⅰ）若，函数在上既能取到极大值，又能取到极小值，求的取值范围；    （Ⅱ） 当时，对任意的恒成立，求的取值范围； （Ⅲ）若，函数在和处取得极值，且，是坐标原点，证明：直线与直线不可能垂直. 答案：解：（Ⅰ）当时，， 令得，根据导数的符号可以得出函数在处取得极大值， 在处取得极小值．函数在上既能取到极大值，又能取到极小值， 则只要且即可，即只要即可． 所以的取值范围是．                                    ………… 4分 （Ⅱ）当时，对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 也即在对任意的恒成立．                   令，则．        ………… 6分 记，则， 则这个函数在其定义域内有唯一的极小值点， 故也是最小值点，所以， 从而，所以函数在单调递增． 函数．故只要即可． 所以的取值范围是                             ………… 9分 （Ⅲ）假设，即， 即， 故， 即． 由于是方程的两个根， 故．代入上式得．   ………… 12分 ， 即，与矛盾，        所以直线与直线不可能垂直．                           ………… 14分

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