题目

已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线l:y=-2的距离小1.（1）求曲线C的方程；（2）过点P(2,2)的直线m与曲线C交于A，B两点，设=λ.①当λ=1时,求直线m的方程；②当△AOB的面积为4时（O为坐标原点），求λ的值. 答案：（1）解法一：设M(x,y)，则由题设得|MF|=|y+2|-1, 即=|y+2|-1,当y≥-2时,=y+1,化简得x2=4y; 当y＜-2时,=-y-3, 化简得x2=8y+8与y＜-3不合,故点M的轨迹C的方程是x2=4y. 解法二：∵点M到点F(1,0)的距离比它到直线l:y=-2的距离小1，∴点M在直线l的上方.点M到F（1，0）的距离与它到直线l′:y=-1的距离相等, ∴点M的轨迹C是以F为焦点，l′为准线的抛物线.∴曲线C的方程为x2=4y. （2）当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意.设直线m的方程为y-2=k(x-2),即y=kx+(2-2k)，代入x2=4y得x2-4kx+8(k-1)=0（*）  Δ=16(k2-2k+2)＞0对k∈R恒成立，∴直线m与曲线C恒有两个不同的交点.设交点A，B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=4k,x1x2=8(k-1). ①由=λ,且λ=1得点P是弦AB的中点,∴x1+x2=4.则4k=4，得k=1.∴直线m的方程是x-y=0. ②∵|AB|===4.点O到直线m的距离d=,∴S△ABO=|AB|·d=4|k-1|=4. ∵S△ABO=4,∴4=4.∴(k-1)4+(k-1)2-2=0,(k-1)2=1或(k-1)2=-2（舍去）.∴k=0或k=2. 当k=0时,方程（*）的解为±2.若x1=2,x2=-2,则λ==3-2,若x1=-2,x2=2,则λ==3+2. 当k=2时,方程（*）的解为4±2.若x1=4+2,x2=4-2,则λ==3+2,若x1=4-2,x2=4+2,则λ==3-2, ∴λ=3+2或λ=3-2.

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