题目

如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点． （Ⅰ）求证：AF∥平面PCE；                  （Ⅱ）求证：平面PCE⊥平面PCD； （Ⅲ）求三棱锥C－BEP的体积．                          答案：证明: （Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG， ∴FG为△CDP的中位线，∴FGCD， ∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点， ∴ABCD，∴FGAE，                          ∴四边形AEGF是平行四边形，∴AF∥EG， 又EG平面PCE，AF平面PCE， ∴AF∥平面PCE；   （Ⅱ）∵ PA⊥底面ABCD， ∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PAAD=A， ∴CD⊥平面ADP， 又AF平面ADP，∴CD⊥AF， 直角三角形PAD中，∠PDA=45°，∴△PAD为等腰直角三角形， ∴PA＝AD=2， ∵F是PD的中点，∴AF⊥PD，又CDPD=D，∴AF⊥平面PCD， ∵AF∥EG，∴EG⊥平面PCD， 又EG平面PCE， 平面PCE⊥平面PCD； （Ⅲ）三棱锥C－BEP即为三棱锥P－BCE， PA是三棱锥P－BCE的高，  Rt△BCE中，BE=1，BC=2， ∴三棱锥C－BEP的体积 V三棱锥C－BEP=V三棱锥P－BCE=．

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