题目

（2019·黄冈市启黄中学中考模拟）已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径． 答案：解：（1）证明见解析； （2）⊙O的半径是7.5cm． 【解析】 （1）证明：连接OD． ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA． ∵∠OAD=∠DAE， ∴∠ODA=∠DAE． ∴DO∥MN． ∵DE⊥MN， ∴∠ODE=∠DEM=90°． 即OD⊥DE． ∵D在⊙O上，OD为⊙O的半径， ∴DE是⊙O的切线． （2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3， ∴． 连接CD． ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC=∠AED=90°． ∵∠CAD=∠DAE， ∴△ACD∽△ADE． ∴． ∴． 则AC=15（cm）． ∴⊙O的半径是7.5cm． 考点：切线的判定；平行线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．

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