题目

将所有平面向量组成的集合记作 ，并定义 “ 向量函数 ”: ，其中 ， . 已知 ，设 ， ，定义向量函数 . （ 1 ）证明：对于任意 ， 以及 ， ， 恒成立； （ 2 ）若 ， ，求 的值 . 答案： （ 1 ）证明见解析；（ 2 ） . 【分析】 （ 1 ）设 ， ，根据已知计算 、 及 即可求证； （ 2 ）根据题中的定义结合数量积的坐标运算、同角三角函数基本关系即可求解 . 【详解】 （ 1 ）设 ， 则 ， 所以 ， （ 2 ）由（ 1 ）知 所以 ， 所以 .

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