题目

某小组同学在研究图1所示的电磁枪原理时，绘制了图2所示的简图（为俯视图），图中两平行金属导轨间距为L，固定在水平面上，整个装置处在竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中，平行导轨左端电路如图所示，电源的电动势为E，电容器的电容为C。一质量为m、长度也为L的金属导体棒垂直于轨道平放在导轨上，忽略摩擦阻力和导轨的电阻，假设平行金属导轨足够长。 图1                           图2 （1）将开关S接a，电源对电容器充电。 a．求电容器充电结束时所带的电荷量Q； b．请在图3中画出充电过程中电容器两极板间的电压u随电容器所带电荷量q变化的图像；借助u-q图像求出稳定后电容器储存的能量E0。 （2）电容器充电结束后，将开关接b，电容器放电，导体棒由静止开始运动，不计放电电流引起的磁场影响。     a．已知自由电子的电荷量为e，请你分析推导当导体棒获得最大速度之后，导体棒中某一自由电子所受的电场力与导体棒最大速度之间的关系式； b．导体棒由静止到获得最大速度的过程中，由于存在能量损失ΔE损，电容器释放的能量没有全部转化为导体棒的动能，求ΔE损。 答案：解：（1）a．电容器充电完毕时其电压等于电动势E。有：电容器所带的电荷量Q = CE        ① b．根据，画出u-q图像如图所示，图线与横轴所围面积即为电容器储存的能量。有：              ② 联立①②式可得：    ③                   （5分） （2）a．方法一： 设金属导体棒获得最大速度vm时，放电电流为零，此时电容器的电压U与导体棒的感应电动势E棒相等，即： U=E棒= BLvm  ④           导体棒中恒定电场的场强为： E场= U/L= Bvm            导体棒中电子所受的电场力为  F= e E场= eBvm            方法二：  金属导体棒获得最大速度后做匀速直线运动，电路中无电流，运动的电子在磁场中受到向下的洛伦兹力，大小为：   f=eBvm 由于电子随导体棒做匀速直线运动，则电场力F与洛伦兹力合力为零，即F-f=0 则：  F = eBvm   b． 由（1）中结论可知，导体棒获得最大速度vm时，电容器储存的能量为：                  ⑤ 导体棒由静止到获得最大速度的过程中，根据能量守恒定律有：                                     ⑥ 设此过程电容器放电的电荷量为ΔQ，则ΔQ = CE - CU ⑦ 方法一：设此过程中的平均电流为，时间为t，根据动量定理有：               ⑧          其中               ⑨                         联立④⑤⑥⑦⑧⑨式可得： 方法二：设任意时刻电路中的电流为i，取一段含此时刻的极短时间Δt，设此段时间内速度的改变量为Δv，根据动量定理有：            ⑧ 而              ⑨          ⑩ 联立④⑤⑥⑦⑧⑨⑩式可得：     （7分）

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