题目

如图，在矩形 中，连接 ，过点 C 作 平分线 的垂线，垂足为点 E ，且交 于点 F ；过点 C 作 平分线 的垂线，垂足为点 H ，且交 于点 G ，连接 ，若 ， ，则线段 的长度为 _________ ． 答案： 【分析】 先证明 ，可得 CE = FE ， BF = ，同理： CH = GH ， DG = ，从而得 HE = ，再利用勾股定理得 BD = ，进而即可求解． 【详解】 解： ∵ BE 平分 ∠ DBC ， ∴∠ CBE =∠ FBE ， ∵ CF ⊥ BE ， ∴∠ BEC =∠ BEF =90° ， 又 ∵ BE = BE ， ∴ ， ∴ CE = FE ， BF = 同理： CH = GH ， DG = ， ∴ HE 是 的中位线， ∴ HE = ， ∵ 在矩形 中， ， ， ∴ BD = ， ∴ GF = BF + DG - BD = ， ∴ = ． 【点睛】 本题主要考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，中位线的性质，推出 HE 是 的中位线，是解题的关键．

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