题目

如图，竖直平面内一足够长的光滑倾斜轨道与一长为 的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，水平轨道右下方有一段弧形轨道 。质量为 的小物块 A 与水平轨道间的动摩擦因数为 。以水平轨道末端 点为坐标原点建立平面直角坐标系 ， 轴的正方向水平向右， 轴的正方向竖直向下，弧形轨道 端坐标为 ， 端在 轴上。重力加速度为 。 （ 1 ）若 A 从倾斜轨道上距 轴高度为 的位置由静止开始下滑，求 经过 点时的速度大小； （ 2 ）若 A 从倾斜轨道上不同位置由静止开始下滑，经过 点落在弧形轨道 上的动能均相同，求 的曲线方程； （ 3 ）将质量为 （ 为常数且 ）的小物块 置于 点， A 沿倾斜轨道由静止开始下滑，与 B 发生弹性碰撞（碰撞时间极短），要使 A 和 B 均能落在弧形轨道上，且 A 落在 B 落点的右侧，求 A 下滑的初始位置距 轴高度的取值范围。 答案： （ 1 ） ；（ 2 ） （其中， ）；（ 3 ） 【详解】 （ 1 ）物块 从光滑轨道滑至 点，根据动能定理 解得 （ 2 ）物块 从 点飞出后做平抛运动，设飞出的初速度为 ，落在弧形轨道上的坐标为 ，将平抛运动分别分解到水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，有 ， 解得水平初速度为 物块 从 点到落点，根据动能定理可知 解得落点处动能为 因为物块 从 点到弧形轨道上动能均相同，将落点 的坐标代入，可得 化简可得 即 （其中， ） （ 3 ）物块 在倾斜轨道上从距 轴高 处静止滑下，到达 点与 物块碰前，其速度为 ，根据动能定理可知 解得 ------- ① 物块 与 发生弹性碰撞，使 A 和 B 均能落在弧形轨道上，且 A 落在 B 落点的右侧，则 A 与 B 碰撞后需要反弹后再经过水平轨道 - 倾斜轨道 - 水平轨道再次到达 O 点。规定水平向右为正方向，碰后 AB 的速度大小分别为 和 ，在物块 与 碰撞过程中，动量守恒，能量守恒。则 解得 -------② -------③ 设碰后 物块反弹，再次到达 点时速度为 ，根据动能定理可知 解得 -------④ 据题意， A 落在 B 落点的右侧，则 -------⑤ 据题意， A 和 B 均能落在弧形轨道上，则 A 必须落在 P 点的左侧，即： -------⑥ 联立以上，可得 的取值范围为

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