题目

在星球 M 上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把物体 P 轻放在弹簧上端， P 由静止向下运动，物体的加速度 a 与弹簧的压缩量 x 间的关系如图中实线所示．在另一星球 N 上用完全相同的弹簧，改用物体 Q 完成同样的过程，其 a–x 关系如图中虚线所示，假设两星球均为质量均匀分布的球体．已知星球 M 的半径是星球 N 的 3 倍，则 A ． M 与 N 的密度相等 B ． Q 的质量是 P 的 3 倍 C ． Q 下落过程中的最大动能是 P 的 4 倍 D ． Q 下落过程中弹簧的最大压缩量是 P 的 4 倍 答案： AC 【详解】 A 、由 a-x 图象可知，加速度沿竖直向下方向为正方向，根据牛顿第二定律有： ，变形式为： ，该图象的斜率为 ，纵轴截距为重力加速度 ．根据图象的纵轴截距可知，两星球表面的重力加速度之比为： ；又因为在某星球表面上的物体，所受重力和万有引力相等，即： ，即该星球的质量 ．又因为： ，联立得 ．故两星球的密度之比为： ，故 A 正确； B 、当物体在弹簧上运动过程中，加速度为 0 的一瞬间，其所受弹力和重力二力平衡， ，即： ；结合 a-x 图象可知，当物体 P 和物体 Q 分别处于平衡位置时，弹簧的压缩量之比为： ，故物体 P 和物体 Q 的质量之比为： ，故 B 错误； C 、物体 P 和物体 Q 分别处于各自的平衡位置（ a=0 ）时，它们的动能最大；根据 ，结合 a-x 图象面积的物理意义可知：物体 P 的最大速度满足 ，物体 Q 的最大速度满足： ，则两物体的最大动能之比： ， C 正确； D 、物体 P 和物体 Q 分别在弹簧上做简谐运动，由平衡位置（ a=0 ）可知，物体 P 和 Q 振动的振幅 A 分别为 和 ，即物体 P 所在弹簧最大压缩量为 2 ，物体 Q 所在弹簧最大压缩量为 4 ，则 Q 下落过程中，弹簧最大压缩量时 P 物体最大压缩量的 2 倍， D 错误； 故本题选 AC ．

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