题目

有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD，MF，若BD＝16cm，∠ADB＝30°．   （1）试探究线段BD 与线段MF的数量关系和位置关系，并说明理由；   （2）把△BCD 与△MEF 剪去，将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，边AD1交FM 于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK 为等腰三角形时，求β的度数；   （3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如图3），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离． 答案：【分析】（1）有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），得BD＝MF，△BAD≌△MAF，推出BD＝MF，∠ADB＝∠AFM＝30°，进而可得∠DNM的大小． （2）分两种情形讨论①当AK＝FK时，②当AF＝FK时，根据旋转的性质得出结论． （3）求平移的距离是A2A的长度．在矩形PNA2A中，A2A＝PN，只要求出PN的长度就行．用△DPN∽△DAB得出对应线段成比例，即可得到A2A的大小． 【解答】解：（1）结论：BD＝MF，BD⊥MF．理由： 如图1，延长FM交BD于点N， 由题意得：△BAD≌△MAF． ∴BD＝MF，∠ADB＝∠AFM． 又∵∠DMN＝∠AMF， ∴∠ADB+∠DMN＝∠AFM+∠AMF＝90°， ∴∠DNM＝90°， ∴BD⊥MF． （2）如图2， ①当AK＝FK时，∠KAF＝∠F＝30°， 则∠BAB1＝180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°， 即β＝60°； ②当AF＝FK时，∠FAK＝（180°﹣∠F）＝75°， ∴∠BAB1＝90°﹣∠FAK＝15°， 即β＝15°； 综上所述，β的度数为60°或15°； （3）如图3， 由题意得矩形PNA2A．设A2A＝x，则PN＝x， 在Rt△A2M2F2中，∵F2M2＝FM＝16，∠F＝∠ADB＝30°， ∴A2M2＝8，A2F2＝8， ∴AF2＝8﹣x． ∵∠PAF2＝90°，∠PF2A＝30°， ∴AP＝AF2•tan30°＝8﹣x， ∴PD＝AD﹣AP＝8﹣8+x． ∵NP∥AB， ∴∠DNP＝∠B． ∵∠D＝∠D， ∴△DPN∽△DAB， ∴＝， ∴＝， 解得x＝12﹣4，即A2A＝12﹣4， ∴平移的距离是（12﹣4）cm． 【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用运用．在利用相似三角形的性质时注意使用相等线段的代换以及注意分类思想的运用．

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