题目

王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树 AB 的高度，他在点 C 处测得大树顶端 A 的仰角为 ，再从 C 点出发沿斜坡走 米到达斜坡上 D 点，在点 D 处测得树顶端 A 的仰角为 ，若斜坡 CF 的坡比为 （点 在同一水平线上）． （ 1 ）求王刚同学从点 C 到点 D 的过程中上升的高度； （ 2 ）求大树 AB 的高度（结果保留根号）． 答案： （ 1 ） 2 米；（ 2 ） 米 【分析】 （ 1 ）作 DH ⊥ CE 于 H ，解 Rt △ CDH ，即可求出 DH ； （ 2 ）延长 AD 交 CE 于点 G ，解 Rt △ GDH 、 Rt △ CDH ，求出 GH 、 CH ，得到 GC ，再说明 AB = BC ，在 △ ABG 中，利用正切的定义求出 AB 即可． 【详解】 解：（ 1 ）过 D 作 DH ⊥ CE 于 H ，如图所示： 在 Rt △ CDH 中， ， ∴ CH =3 DH ， ∵ CH 2 + DH 2 = CD 2 ， ∴ （ 3 DH ） 2 + DH 2 = （ ） 2 ， 解得： DH =2 或 -2 （舍）， ∴ 王刚同学从点 C 到点 D 的过程中上升的高度为 2 米； （ 2 ）延长 AD 交 CE 于点 G ，设 AB = x 米， 由题意得， ∠ AGC =30° ， ∴ GH = = = ， ∵ CH =3 DH =6 ， ∴ GC = GH + CH = +6 ， 在 Rt △ BAC 中， ∠ ACB =45° ， ∴ AB = BC ， ∴tan∠ AGB = ， 解得： AB = ， 即大树 AB 的高度为 米． 【点睛】 本题考查的是解直角三角形的应用 - 仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键．

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