题目

今年3月我国北方地区遭遇了近10年来最严重的沙尘暴天气．现把沙尘上扬后的情况简化为如下情景：为竖直向上的风速，沙尘颗粒被扬起后悬浮在空中（不动）．这时风对沙尘的作用力相当于空气不动而沙尘以速度竖直向下运动时所受的阻力．此阻力可用下式表达 其中为一系数，为沙尘颗粒的截面积，为空气密度． （1）若沙粒的密度 ，沙尘颗粒为球形，半径，地球表面处空气密度，，试估算在地面附近，上述的最小值． （2）假定空气密度随高度的变化关系为，其中为处的空气密度，为一常量，，试估算当时扬沙的最大高度．（不考虑重力加速度随高度的变化） 答案：（1）在地面附近，沙尘扬起要能悬浮在空中，则空气阻力至少应与重力平衡，即                                                       ① 式中为沙尘颗粒的质量，而                                          ②                                       ③ 得                                                       ④ 代入数据得                                     ⑤ （2）用、分别表示时扬沙到达的最高处的空气密度和高度，则有                                    ⑥ 此时式①应为                                     ⑦ 由②、③、⑥、⑦可解得                                ⑧ 代入数据得                                    ⑨ 评分标准：本题15分。 1. 第一小题8分。其中①式3分，②式1分，③式1分，④式2分，⑤式1分。 2. 第二小题7分。其中⑥式1分，⑦式1分，⑧式3分，⑨式2分。

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