题目

已知椭圆的左右焦点为，抛物线C：以F2为焦点且与椭圆相交于点M，直线F1M与抛物线C相切。 （Ⅰ）求抛物线C的方程和点M的坐标； （Ⅱ）过F2作抛物线C的两条互相垂直的弦AB、DE，设弦AB、DE的中点分别为F、N，求证直线FN恒过定点； 答案：解：（Ⅰ）由椭圆方程得半焦距         …………1分  所以椭圆焦点为                     …………2分 又抛物线C的焦点为   ……3分 设则，直线的方程为……4分 代入抛物线C得 与抛物线C相切， ，       …………7分 （Ⅱ）设的方程为　代入，得，…8分 设，则  ………9分 ，　    ………10分 所以，将换成       …………12分 由两点式得的方程为                …………13分 当，所以直线恒过定点          …………14分

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