题目

如图， ABC 是 ⊙ O 的内接三角形，过点 C 作 ⊙ O 的切线交 BA 的延长线于点 F ， AE 是 ⊙ O 的直径，连接 EC （ 1 ）求证： ； （ 2 ）若 ， 于点 ， ， ，求 的值 答案： （ 1 ）证明见详解；（ 2 ） 18 ． 【分析】 （ 1 ）连接 ，根据 是 ⊙ O 的切线， AE 是 ⊙ O 的直径，可得 ，利用 ，得到 ，根据圆周角定理可得 ，则可证得 ； （ 2 ）由（ 1 ）可知 ，易得 ，则有 , 则可得 ，并可求得 ，连接 ，易证 ，则有 ，可得 ． 【详解】 解：（ 1 ）连接 ∵ 是 ⊙ O 的切线， AE 是 ⊙ O 的直径， ∴ ， ∴ ∴ 又 ∵ ∴ 根据圆周角定理可得： ∴ ， ∴ ； （ 2 ）由（ 1 ）可知 ， ∵ ∴ ∴ ∴ , ∵ ， ， ∴ ∴ ∴ 又 ∵ 中， ∴ ， 如图示，连接 ∵ ， ∴ ∴ ∴ ． 【点睛】 本题考查了圆的性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，三角形相似的判定与性质等知识点，熟悉相关性质是解题的关键．

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